已知a>0,b>0,a+b=1,求证[a+(1/a)][b+(1/b)]≥(25/4)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/06 06:29:31
最好能用简单的方法
本题需要用到基本不等式和函数的单调性,证明结果如下:
首先从已知条件有1=a+b≥2√(ab),即√(ab)≤1/2即ab≤1/4,当且仅当a=b=1/2时成立。
不等式左边展开=ab+b/a+a/b+1/(ab)=ab+1/(ab)+b/a+a/b
其中b/a+a/b≥2√(b/a*a/b)=2,当且仅当a=b=1/2时成立。
而另一部分ab+1/(ab)是自变量ab的函数,由于我们之前已经分析出ab≤1/4,故此函数在ab≤1/4的范围内单调递减,因此ab+1/(ab)≥1/4+1/(1/4)=17/4,此时a=b=1/2
综上,ab+1/(ab)+b/a+a/b≥17/4+2=25/4,等号在a=b=1/2时取到,证毕!
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
已知b>a>1,t>0。
已知 a>0,b>0 ,试比较a^a*b^b 与a^b*b^a 的大小
已知a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求a+b最小值
已知:a<b且a/b>0,求|a|-|b|+|a-b|+|ab|.
已知a>b>0,求a2+16/b(a-b)的最小值
已知A>0,b>0,且ab>=1+a+b,求a+b的最小值
已知A>0,B<0,|A|<|B|化简|A+B|+|A-B|+|-A-B|
已知a、b、c是三个有理数,且|ab|>ab,|2a+b|>2a+b,a>b,a+b+c=0
已知a>b>c>d>0,且a/b=c/d,求证:a-b>c-d
已知a>0 b>0 2a+8b-ab=0 则a+b的最小值是多少